振动波的能量

贡献者： FFjet

预备知识一维波动方程，二项式定理（非整数幂）

1. 波的能量

当机械波传播到介质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动，因而具有动能，同时该处的介质也将产生形变，因而也具有势能。

波动传播时，介质由近及远地振动着，由此可见，能量是向外传播的。这是波动的重要特征。

图 1：一小段线元

如图 1 所示，在弦线上在 $x$ 处取线元 $\Delta x$，设弦线的线密度（单位长度的质量）为 $\rho_l$，其质量为 $\rho_l\Delta x$。当弦线中有平面简谐波传播时，设波函数为

\begin{equation}y=A \cos \left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~.\end{equation}

线元的动能为

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}~.\end{equation}

弦线上有张力作用，线元由原长 $\Delta x$ 变为 $\Delta l$，也就是说伸长了 $\Delta l-\Delta x$。这是在张力的作用下伸长的，即它的弹性势能应等于弦张力 $F$ 在线元伸长过程中做的功，也就是

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{p}}=F(\Delta l-\Delta x)~.\end{equation}

在 $\Delta x$ 很小时

\begin{equation}\begin{aligned} \Delta l &=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\left[1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \\ & \approx \Delta x\left[1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \approx \Delta x\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}\right] ~,\end{aligned}\end{equation}

此处的最后一个约等号运用了广义二项式定理（式 1 ）。因此

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} \Delta x~.\end{equation}

所以，线元的总机械能

\begin{equation}\Delta E=\Delta E_{\mathrm{k}}+\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \rho_{l}\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2} \Delta x+\frac{1}{2} F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2} \Delta x~.\end{equation}

对于平面简谐波有

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~,\end{equation}

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} F \Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}=\frac{1}{2} F \Delta x \frac{1}{u^{2}} \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~.\end{equation}

由于 $u=\sqrt{\dfrac{F}{\rho_{l}}}$，所以有

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2} \rho_{l} \Delta x \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~.\end{equation}

即

\begin{equation}\Delta E_{\mathrm{p}}=\Delta E_{\mathrm{k}}~,\end{equation}

而总机械能为

\begin{equation}\Delta E=\Delta x \rho_{l} \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~.\end{equation}

2. 能量密度

为了更精确地描述波在介质中的分布情况，引入能量密度的概念。

介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度，用 $w$ 表示。设弦线的横截面积为 $S$，其体密度为 $\rho$，它与线密度 $\rho_l$ 的关系为 $\rho_l=\rho S$。则能量密度

\begin{equation}w=\frac{\Delta E}{S \Delta x}=\rho \omega^{2} A^{2} \sin ^{2}\left[\omega\left(t-\frac{x}{u}\right)+\phi_{0}\right]~.\end{equation}

波的能量密度是随时间而变化的，通常取其在一个周期内的平均值，用 $\overline w$ 表示，称为平均能量密度。因为正弦函数的平方在一个周期内的平均值为 $\dfrac 12$，即

\begin{equation}\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin ^{2} \omega t \mathrm{d} t=\frac{1}{2}~,\end{equation}

所以能量密度在一个周期内的平均值为

\begin{equation}\overline{w}=\frac{1}{2} \rho A^{2} \omega^{2}~.\end{equation}

由上式可见，机械波的能量与振幅的平方、频率的平方都成正比。