牛顿关于数学(牛顿在数学方面有多牛)
我们可以从一场数学史上极富盛名的挑战赛来比较一下牛顿和同时代其他数学家的水平。
约翰·伯努利在1696年提出最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。这个问题最早由伽利略在1630年提出：
“一个质点在只受重力的作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，问沿着什么曲线下滑所需时间最短？”
然而伽利略自己给出的答案是错误的：他认为这条曲线是过AB的圆弧。这条曲线也不是连接AB两点的直线，尽管AB间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。
伯努利把此问题发布在Acta Eruditorum上，他还这么说：
“我，约翰·伯努利，想找到世界上最出色的数学家。对聪明人而言，没有什么能比一道诚实而富有挑战性的难题更有吸引力，其可能的解决方案将会成为一个永恒的纪念碑。按照帕斯卡，费马等人设定的例子，请允许我代表整个数学界将这个尤其能在今天考验大家的数学技巧和思维耐力的问题展示在最优秀的数学家面前。如果有人能把答案递交与我，我会将其公开，并授予其应得的奖赏。”
伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份来自他的老师莱布尼兹的解答。莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。约翰·伯努利亲自把最速降线问题抄了一份，装进信封寄给在英国的牛顿。
1697年1月29日，牛顿正在造币局里忙着改铸新币的工作。下午4点回到家里，他看到了邮箱里伯努利寄来的问题。尽管牛顿非常疲惫，他立即彻夜未眠的投入研究，在凌晨4点时得到问题的解答。他将他的解答寄给好友兼皇家协会主席查尔斯，随后皇家协会以匿名的形式发表在Philosophical Transactions上。
要知道，此时的牛顿已经56岁，工作重点是皇家铸币厂监管。他还在1690年代写了很多处理圣经的文字解释的宗教小册子。即使如此，在忙了一天的本职工作后，牛顿还是用几个小时就解决了许多欧洲数学家都无法解出的难题。约翰·伯努利本人也花了两个星期的时间才完成解答。
1697年复活节的截止期限，伯努利共收到了5份答案，他自己和其老师莱布尼兹，第三份是他的哥哥雅可布·伯努利，洛必达是第四个，最后是一份匿名答案。伯努利在阅读最后一份解答时立即认出它的作者，他惊叹自己
“从利爪上认出了这头狮子（recognizes a lion from his claw mark）”
在给查尔斯的信里（谢评论区@安然 指出），牛顿还写道：我不喜欢在数学上被外国人糊弄（I do not love to be dunned and teased by foreigners about mathematical things）。
莱布尼兹后来还有一次向牛顿发起挑战。那是1715年，莱布尼兹要挑战英国数学家，当然主要是挑战牛顿，要求给出寻找单参数曲线族的正交轨道（orthogonal trajectories of a given family of curves）的一般方法。这在当时是个悬而未决的难题，莱布尼兹本人也仅仅解决了该问题的特殊情形，不像约翰·伯努利在发起最速降线问题的挑战时，他本人已经知道答案。
尽管牛顿当时已经是74岁高龄，他依旧一身疲惫的从造币厂下班回家，然后花一个晚上时间把问题解决，并将解答发表在1716年的Philosophical Transactions上。
容许我再作一些说明。我举这两个挑战的例子，根本不是为了说明最速降线问题和曲线族正交轨道这两个工作对牛顿的数学成就有多么重要。实际上，牛顿求解这两个问题用到的技巧都不是最巧妙的，在求解最速降线上用到变分的思想，在曲线族问题上用了普通的二阶常微分方程。解决这两个挑战，不过是牛顿对莱布尼兹和伯努利等欧洲数学家的质疑进行回应。提这两个挑战，目的就是展示牛顿在数学方面的天赋和求解难题上惊人的智力。
将牛顿和高斯，欧拉放在一起比较数学贡献是毫无意义且不公平的。他们都是天赋禀异的大师，他们的数学工作对后世的启发都是极其深远的（当然欧拉更是一位以高产闻名的数学大师）。但他们根本不是一个时代的数学家。哪怕是同一个时代的莱布尼兹，他在数学上的贡献也是极其广泛，连牛顿早期也称赞他是“最杰出的几何学家”。有人会说没有牛顿，微积分也会被莱布尼兹提出。这当然没有错，但牛顿对微积分的贡献同样是莱布尼兹所无法取代的。他从物理运动和几何方法出发研究微积分，莱布尼兹则更为系统严密的从分析学出发。
牛顿对数学的贡献是极其广泛的。广义二项式定理，牛顿恒等式、牛顿法（逼近函数的零点），立方面曲线分类，有限差分理论，丢番图方程。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转幂级数。莱布尼兹跟牛顿争了大半辈子关于微积分的发明权，直到去世后几年学术界还在争执。但莱布尼兹是这样评价牛顿在数学上的成就：
“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。
当大家试图以纯数学家的身份评论牛顿时，确实会感觉比起最具有原创性的伽罗瓦、黎曼这样的数学家来说，牛顿的工作在数学方面的原创性确实不是最高的。但我们确实不应该用今天的眼光来评价牛顿，必须要考虑历史的进程。
我们先不说二项式公式或者是最速降线这样看起来很厉害，但对牛顿真正的数学贡献不值一提的工作了（这是对牛顿这样级别的数学家来说，对于一般的数学家这自然是值得大书特书的工作）。我们单说说微积分。
微积分的朴素观念，早在公元前就出现了。阿基米德就曾经用类似于积分的方法求几何体的体积。世界各国的文献中都出现过微积分的朴素想法。例如我们熟悉的中国，祖冲之关于计算Pi的割圆法就是一种朴素微积分想法的体现。而即使是现代微积分，也有许多成果出现在牛顿之前。牛顿的老师巴罗就已经知道微分和积分之间模糊的逆运算关系，并且和沃利斯等人一同发现了微积分基本定理的一种形式。更不要说同时代的莱布尼茨与牛顿之间关于微积分优先权的争端。
我们可以思考一下：在这种情况下，为什么牛顿（以及莱布尼茨）仍然被认为是微积分的发明者呢？要说原创性，比他们早得多的学者们已经有了许多微积分的思想了；要说严格性，还得等到19世纪伟大的体育老师出现微积分的基础极限理论才算是基本确立。这二位究竟做了什么，获得了微积分发明人的荣誉呢？
其实二位确立这一荣誉的理由，还真的得从他们数学家外的职业来解释。莱布尼茨的主业是哲学家。他对微积分的符号系统与代数形式的研究不得不说受他自己对于理性主义哲学的研究与深刻理解的影响。我们至今仍然使用莱布尼茨的符号体系，全世界的数学家大部分都是莱布尼茨的传人（例如我似乎是第18代传人），这都源于他对符号体系对数学重要性的认识。另外说一句，似乎哲学家都对代数方法有格外的重视，例如笛卡尔等。
而牛顿在数学家之外的主业是什么呢？物理学家。牛顿最重要的贡献是认识到，微积分（甚至更一般的代数学）是可以用来研究物理的。这在今日简直是再自然不过的事情，但是在牛顿那个年代，物理学是什么样的呢？
逝世于牛顿出生那一年的欧洲最伟大的物理学家伽利略被称为现代科学之父。他重要的成果之一就是把数学方法引入物理学，他也是最早提出自然规律是数学性的学者。所以在牛顿的年代，数学工具能用来描述物理规律还只是一个初生的幼芽。学者们知道很多物理规律可以用定量分析的方法来描述，但数学如何参与其中仍然是一个谜。而巴罗等人意识到了几何对于物理的重要性，但也停留在几何图形用于描述运动轨道这样朴素的信念上。这并不难理解：《几何原本》是那么伟大，也为后世的数学家对几何的论证打下了坚实的信念。巴罗就是这样：他用几何的方法描述微积分，从而没能发现微积分与物理之间的关系。
而牛顿革命性的工作在于放弃了纯几何方法，从而用代数方法来描述微积分。与莱布尼茨殊途同归，他获得了（虽然不严格）有效的微积分工具。更重要的是，牛顿意识到微分方程是描述物理规律的核心语言，这也是他的基本物理定律的源头。牛顿的巨著《自然哲学的数学原理》之名也来源于此，尽管牛顿向当时主流的数学物理界妥协将微积分的语言隐藏了起来。直到今天，代数语言和微分方程仍然是绝大部分物理规律的语言，这都得追溯到牛顿的工作。
有的人或许会问：这工作或许是十分伟大，但这不是牛顿对于数学的贡献，而是物理的贡献呀？所以这就是为什么我们要考虑历史的进程。从上面我们可以看出来，牛顿对数学有什么贡献：
第一，他确实是最早将微积分发展成有效工具的人之一，担得起微积分发明人的荣誉；
第二，用微积分语言成功阐述物理规律，大大提高了数学在自然科学中的价值。不但证明伽利略的利用数学描述物理规律的思想是非常成功的，同时也让后世的科学家意识到了数学的重要性。让数学成为描述规律的工具的重要性，怎么鼓吹都不为过；
第三，反过来，将数学和物理成功结合又促进了数学家对物理学以及自然规律重要性的认识。这一点我想额外提一下。
其实仔细想想，微积分能够从17世纪传下来其实是不容易的。以贝克莱主教为首的哲学家们一直没有停止对微积分的攻击。而且平心而论，这些攻击是非常有意义的、抓住了早期微积分的要害的。直到19世纪，微积分的严格性才基本被解决。都说数学最重要的是严格性，但为什么这么一门不严格的学科居然能被传下来，而且居然最后都可以正确而严格的解释，我们恐怕还是得归功于物理。正是因为这些数学工具都用来描述物理规律，而且相当成功，这才侥幸保证了它的正确性。我想在未来，即使又出现了新的数学危机，某个数学的基础再被推翻，那些和物理结合在一起的数学都不用担心，因为我们总能找到描述它们的新方法。这是发展数学的重要信念，也是保护数学这一领域的重要防御。
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