欧拉有多少个公式

List of things named after Leonhard Euler

已经列举的很详细各个以欧拉命名的公式或者定理了。欧拉是一位多产的数学家，其学术著作约有60-80册，发表论文800多篇，内容极其丰富，对近现代数学产生了极大的影响。之前有一个网站 最近好像挂了，不过我发现 MAA 有更全面的主页：

The Euler Archive

。上面有不少欧拉的历史以及原著（包括一些翻译版），有兴趣可以去看看。之前我也花了一些时间去看了一些欧拉微积分和数论方向的文章，发现很适合刚上大学甚至高中生去读。

为了尽量不和其他人重复，下面我讲以下贝塞尔问题的解决过程吧（也就是平方倒数级数公式）。

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其实学过高数的人都应该知道欧拉当初是怎么证明的，虽然不算是十分严格，但是非常精巧（

@Jianchi Chen

已经把那个推导写出来了）。可是他是怎么发现这个公式等于 \pi^2/6 的呢？

首先，欧拉从几何级数的等式出发（即1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}），然后两边取不定积分，得到 x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}=\int\frac{1-x^n}{1-x}dx

注意，左边x取1的话就是调和级数的前n项（n-partial sum），它等于右边取从0到1的定积分（瑕积分）。由于左右的相等，可以定义类似于 n=1/2-partial sum 的非整数部分和，对于这个例子：\int_{0}^1\frac{1-\sqrt{x}}{1-x}dx=\int_{0}^1\frac{1}{1+\sqrt x}dx=2-2\ln 2

现在，我们已经通过积分已经把几何级数和调和级数联系起来了。欧拉尝试继续积分，左边得到 \frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{n\cdot(n+1)}

此时，分母还不是我们想要的结果（我们想要得到平方项），欧拉敏锐地发现只要在积分前除以x即可。

\int\frac{1}{x}\left(x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}\right)dx=x+\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^3}{3^2}+\cdots+\frac{x^n}{n^2}

故，我们有

\int^1_0\frac{1}{x}\left(\int_0^x\frac{1-y^n}{1-y}dy\right)dx=1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n^2}

当 n 趋于无穷大时，我们就可以从左边的式子估计平方倒数级数。接下来才是欧拉真正厉害之处，他的算数功底就不提了，相传他双目失明以后，所有的计算都是大脑中进行的。欧拉之所以是欧拉，当他看到左边的积分后，用数值估计的方法算出来大约是1.644924....这看起来有些不可思议，但是事实就是如此。而且得到的这个数字可能对于大多数人来说都是无意义的，但是欧拉一眼就看出来是 \pi^2/6. （我惊呆了！！！）当他得到这个结果以后，之后的补证大家都知道了。

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再讲讲几个事实：

并不是所有的欧拉定理和公式都是欧拉发现的，比如复分析的 e^{ix}=\cos x+i\sin x，最早的发现者是 Roger Cotes，当时他给出了 \ln(\cos x+i\sin x)=ix。这个有意思的现象可以参见 Stigler's law of eponymy。

欧拉的工作连续性很好，很多问题都是不断的更新，得到新的结果。有一些方法，如级数、无穷分式用的特别多。

欧拉做的问题很多，但不代表证明都是完美无缺的，有不少证明是错误的。有一些他会事后更改，还有一些并没有发现。比如他对 V-E+F=2 的证明即是错误的，尽管很有说服力。