weierstrass定理
2023-08-01 19:48 geyange.com
Weierstrass逼近定理是数学分析中的核心定理。陈述如下：
设 f(x) 是 [a,b] 上的连续函数，则存在多项式函数列 \left\{f_n(x)\right\} ，使得 f_n(x) 一致收敛于 f(x)
附注 不失一般性，下面只对于 [a,b]=[0,1] 的情形证明。
证明
构造Bernstein多项式 \[B_n(x)=\sum_{m=0}^n C_n^m x^m(1-x)^{n-m}f(\frac{m}{n})\]
构造随机变量 X\sim B(1,x) ，以及 X 的独立同分布随机序列 \left\{X_n\right\} ，则 \[S_n=\sum_{k=1}^n X_k\sim B(n,x)\] ，且 \[E(f(\frac{S_n}{n}))=\sum_{m=1}^n f(\frac{m}{n})b(m;n,x)=B_n(x)\]
此外 \[E(\frac{S_n}{n})=\frac{1}{n}nx=x \quad\quad D(\frac{S_n}{n})=\frac{1}{n^2}nx(1-x) =\frac{x(1-x)}{n}\leq \frac{1}{n}\]
由Chebyshev不等式 \[P(|\frac{S_n}{n} -x|\geq \delta) \leq \frac{1}{n\delta ^2}\]
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